Unité pédagogique
Derniere édition le: 22/02/2024
ModifierAu cours de cette UP d'introduction, les élèves apprendront à analyser et modéliser un problème physique afin d'établir les équations aux dérivées partielles (EDP) qui le décrivent. D'un point de vue mathématique, ces équations se répartissent en trois catégories (elliptiques, paraboliques et hyperboliques) dont les représentants physiques les plus connus sont l'équation de diffusion stationnaire, l'équation de diffusion instationnaire, et l'équation des ondes. Une étude mathématique même succincte permet de caractériser le comportement de la solution de ces EDPs et de le relier au comportement physique que l'on veut modéliser. De plus ceci permet d'anticiper les propriétés que le schéma de discrétisation doit satisfaire pour approcher numériquement au mieux cette solution.
| A la fin de l’unité pédagogique, l’élève sera capable de : | Niveau de taxonomie | Priorité |
|---|---|---|
| Etablir une équation de bilan | 4. Analyser | Essentiel |
| Reconnaître le genre d'une EDP | 3. Appliquer | Essentiel |
| En fonction du genre de l'EDP, connaître les propriétés que le schéma numérique doit exhiber | 3. Appliquer | Essentiel |
| Part de l'évaluation individuelle | Part de l'évaluation collective | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Examen sur table : | 100 | % | Livrable(s) de projet : | 0 | % |
| Examen oral individuel : | 0 | % | Exposé collectif : | 0 | % |
| Exposé individuel : | 0 | % | Exercice pratique collectif : | 0 | % |
| Exercice pratique individuel : | 0 | % | Rapport collectif : | 0 | % |
| Rapport individuel : | 0 | % | |||
| Autre(s) : 0 % | |||||
| Type d’activité pédagogique : | Contenu, séquencement et organisation |
|---|---|
| Cours | De la modélisation physique à l'analyse mathématique (9h, Julien Bruchon) Objectif : introduire, par des exemples physiques décrits de manière approfondie, les trois genres d'équations aux dérivées partielles du second ordre, à savoir les équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques. L'accent sera d'abord mis sur l'aspect lois de conservation, pour arriver à des équations de convection diffusion instationnaires, avec pour exemple les problèmes de diffusion (particules ou chaleur), l'équation de Fokker – Planck, ou encore l'équation d'équilibre d'une membrane en caoutchouc. La description de la propagation du son permettra d'introduire l'équation des ondes et donc l'hyperbolicité. Le lien avec les équations hyperboliques d'ordre 1 sera fait. Suite à chaque exemple, une analyse mathématique simplifiée permettra de préciser sous quelles conditions le problème est bien poser et de dégager les principales propriétés de la solution (régularité, apparition de discontinuité, etc.). Enfin, une synthèse mathématique plus formelle permet d'introduire la notion de courbes caractéristiques, de classer les équations, et de les exprimer sous leurs formes standards. |
| Cours | Introduction aux méthodes de discrétisation des EDP (E. Touboul, 6h) Objectif : introduire les principes généraux de discrétisation d'une EDP : Théorème de Cauchy – Lipschitz, méthode d'approximation, consistance du schéma, convergence du schéma, stabilité du schéma. Choix de la méthode de discrétisation Algèbre linéaire (valeurs propres, conditionnement d'une matrice, pivots de Gauss, méthodes itératives). |