Unité pédagogique
Derniere édition le: 09/12/2024
ModifierCours Mathématiques pour la mécanique quantique (M. Fischer) :
En mécanique quantique, l'état d'un système physique est décrit par une fonction d'onde. Cette fonction peut être vue comme un point dans un espace (vectoriel) comme en mécanique classique sauf que ce point (ou vecteur) vit en réalité dans un espace de dimension infinie, puisqu'il s'agit d'un espace (linéaire) de fonctions.Il se trouve que la vision euclidienne classique peut être prolongée aux espaces de la mécanique quantique, grâce au concept central d'espace de Hilbert : espace vectoriel normé complet dont la norme (métrique) est issue d'un produit scalaire comme pour les espaces euclidiens. Les espaces de Hilbert usuels sont construits grâce à la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Un premier travail sera de voir comment une fonction d'onde dans un espace de Hilbert peut être décrite par un système infini (mais souvent discret) de coordonnées grâce à la notion de base orthonormée ou base hilbertienne. Cela permettra également d'interpréter dans le formalisme de la mécanique quantique une fonction d'onde comme une superposition infinie d'états avec des probabilités a priori (en dehors de toute mesure) plus ou moins importantes. La cohérence d'un tel formalisme sera assurée par la relation de Bessel-Parseval. Par ailleurs, l'analyse de Fourier apparaîtra comme un cas très particulier.Un second travail va s'attacher à décrire simplement une classe suffisamment riche d'applications linéaires (ou opérateurs sur un espace de Hilbert) en terme de décomposition spectrale comme dans le cas de la dimension finie. Dans le formalisme de la mécanique quantique, cela permettra d'analyser le résultat d'une mesure ou observable puisque cette dernière est "naturellement" associée à un opérateur auto-adjoint...Enfin, l'exemple de l'oscillateur harmonique quantique sera étudié en détails pour illustrer les différents concepts, en particulier de symétrie et de compacité d'un opérateur.
Cours Introduction à la mécanique quantique (R. Charrière) :
Le cours d'introduction à la mécanique quantique présente les bases théoriques et conceptuelles nécessaires pour la description des phénomènes à l'échelle atomique.
Le cours commencera par un rappel des expériences historiques ayant conduit au développement de la mécanique quantique. Le formalisme sera en suite présenté, avec les notions fondamentales (bra, ket, opérateurs, vecteurs et valeurs propres...) et les différents principes de base (principe de superposition, équation de Shrödinger, principe de la mesure quantique...).
La deuxième partie du cours sera consacrée au calcul des états quantiques et niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, avec la présentation de l’opérateur moment cinétique quantique et ses propriétés. La structure fine de l'atome d'hydrogène sera également évoquée, calculée avec la méthode des perturbations.
| A la fin de l’unité pédagogique, l’élève sera capable de : | Niveau de taxonomie | Priorité |
|---|---|---|
| d'appréhender la géométrie dans les espaces de Hilbert comme extension de la géométrie 3D usuelle | 2. Comprendre | Important |
| faire la décomposition d'un vecteur sur une base hilbertienne | 3. Appliquer | Essentiel |
| d'analyser la décomposition spectrale de certains opérateurs auto-adjoints | 4. Analyser | Utile |
| d'étudier un cas simple d'opérateur issu de la mécanique quantique | 4. Analyser | Utile |
| comprendre les concepts et le formalisme de la mécanique quantique | 2. Comprendre | Essentiel |
| comprendre le calcul des états quantiques et niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène | 2. Comprendre | Essentiel |
| calculer les états quantiques et niveaux d'énergie de systèmes simples | 3. Appliquer | Essentiel |
| connaître la théorie des perturbations et la structure fine de l'atome d'hydrogène | 1. Connaître | Important |
| Part de l'évaluation individuelle | Part de l'évaluation collective | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Examen sur table : | 100 | % | Livrable(s) de projet : | 0 | % |
| Examen oral individuel : | 0 | % | Exposé collectif : | 0 | % |
| Exposé individuel : | 0 | % | Exercice pratique collectif : | 0 | % |
| Exercice pratique individuel : | 0 | % | Rapport collectif : | 0 | % |
| Rapport individuel : | 0 | % | |||
| Autre(s) : 0 % | |||||
| Type d’activité pédagogique : | Contenu, séquencement et organisation |
|---|---|
| Cours | Cours Mathématiques pour la mécanique quantique : Cours Introduction à la mécanique quantique : |
| Travaux Dirigés | Cours Mathématiques pour la mécanique quantique : Cours Introduction à la mécanique quantique : |