Instabilités hydrodynamiques : étude théorique et numérique

Dans cette UP, on s'intéresse aux instabilités hydrodynamiques.

Ces instabilités sont nombreuses ; elles se rencontrent dans la Nature et sont parfois mises à profit dans des contextes industriels (voir quelques exemples ci-après).

La description théorique (analytique) s'appuie sur les outils conceptuels développés pour décrire les systèmes dynamiques : espace des phases, portrait de phase, attracteur/point fixe ainsi que l'analyse de stabilité linéaire.

Elle permet d'identifier les conditions dans lesquelles le système est stable ou instable. En cas d'instabilité, la relation de dispersion permet d'évaluer la longueur d'onde caractéristique.

Une démonstration détaillée de l'instabilité de Rayleigh-Bénard sera donnée.

L'étude numérique des instabilités hydrodynamiques peut être réalisée avec un solveur fluide. Ici, en particulier, on adaptera le code Matlab écrit dans l'UP1 (implémentant la méthode de Boltzmann sur Réseau LBM) pour qu'il puisse modéliser le couplage entre les transferts de masse, de quantité de mouvement et de chaleur. Ensuite, on évaluera le taux de croissance d'une perturbation pour établir la courbe de stabilité marginale, c'est-à-dire in fine pour calculer la différence de température qu'il faut appliquer pour mettre en mouvement un fluide initialement au repos.

Instabilité thermo-convective de Rayleigh-Bénard : un fluide au repos se met en mouvement lorsqu'il est chauffé par le bas et que le gradient de température dépasse un certain seuil (cf. l'eau qui bouge dans une casserole).

Instabilité de Rayleigh-Plateau : un jet liquide cylindrique se fragmente spontanément en gouttelettes sous l'effet de la tension superficielle (cf. injection de carburant diesel dans une chambre de combustion)

Instabilité de Kelvin-Helmholtz : l'interface entre deux fluides cisaillés ne reste pas plane lorsqu'il y a une différence de densité (par exemple causée par une différence de température)

Instabilité de von Karman : la présence d'un obstacle dans un écoulement provoque la formation de tourbillons qui se détachent dans le sillage.